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第四章：PID控制器

由前述章節介紹，可知一個系統中最為重要的係輸入與輸出之間的關係，即為轉移函數，了解此一關係，則可以有效的控制輸入參數，達到期望的輸出結果。因此，使系統能穩定且快速的達到輸出目標，即為控制器之目的；控制器具有不同種類及設計，本章將針對工業界中應用最廣泛的PID控制器進行分析及解說。

4-1 PID控制器簡介

PID（比例Proportional-積分Integral-微分Derivative）控制器，又稱為三項(ThreeTerms)控制器或程序(Process)控制器，係由比例單元P、積分單元I和微分單元D三項所共同組成，其轉移函數型態如下

藉由K_p，K_i和K_d三個參數的設定，調整控制器的轉移函數；其中K_p稱為比例增益常數，使得輸入至輸出間具有一個常數比例關係，可藉此調整輸出放大或縮小；K_i為積分增益常數，K_d係微分增益常數，對於一個連續的類比訊號，除了以比例控制外，也可使用積分或微分進行處理，又稱為動態補償(DynamicCompensation)。

將PID控制器轉移函數中，將s以jw代入，則

可觀察到以下幾點

1.當系統處於穩態情況時，其輸入訊號變化頻率較小，則積分項I為控制器主要影響參數，故調整K_i參數可有效的改善系統的穩態誤差。

2.當系統為暫態情況，其輸入訊號變化頻率較大，此時微分項D為控制器主要影響參數，故調整K_d參數將使暫態增益大小改變，若將K_d增加，則系統響應較快。

3.無論何種狀態，比例項P都持續對系統造成影響。

可參考圖4-1，於不同頻率變化時，三項參數所佔的比重關係。

圖4-1：PID控制器複數平面圖

PID控制器主要適用於基本線性和動態特性不隨時間變化的系統，若將K_d參數設為零，則稱為積分型(PI)控制器，為最常見的使用類型；反之，將K_i設為零，則稱為微分型(PD)控制器。

4-2 PID控制器參數推導

由簡介可知PID控制器主要參數分別為K_p，K_i和K_d，故考慮一個實際的馬達系統模型，如圖4-2，推導PID控制器三項參數的選用與分析。

圖4-2：馬達系統模型

將此系統進一步簡化，可得圖4-3之模型，其中F(s)即為PID控制器，G(s)則是由取樣所造成的延遲時間因子，當取樣時間為T時，則，H(s)為結合馬達、驅動器及感測器之簡化系統，其整體轉移函數如下

圖4-3：系統簡化模型

則此系統之開回路轉移函數為

考慮系統之交換頻率(Crossover Frequency)和相位邊限(Phase Margin)因素，則

由前述可知，參數K_i主要作用於系統低頻操作時，故可推斷K_i對於開迴路系統│L(jω_c)│的大小值沒有影響，但對於相位則會造成約-5°的相位落後影響。因此，假設系統之延遲時間因子為1，則

若僅考慮系統之大小關係，即K_i=0及G(s)=1，可將此開迴路系統推導為

(4-1)

其中

再考慮系統相位關係，受到相位落後5°的影響，則相關計算如下把值

將數值代入可得

其中

(4-2)

由(4-1)及(4-2)可繪得K_d與K_p之三角關係圖

圖4-4：與三角關係圖

由圖4-4可推導出K_d與K_p之關係式

例一：參考圖4-5之系統及其相關參數，設計適當的PID參數。

圖4-5：系統方塊圖

相關參數：

設計規格：

解：

則H(s)之轉移函數為

將以ω_c=200代入，可得

則

另可知，K_i會造成相位落後5°，如圖4-6所示，則

圖4-6：PID控制器複數平面圖

4-3 PID控制器參數對系統之影響

由前述之介紹可知，若有特定之設計需求規格，則可計算求得PID控制器三項參數之值；然而，此三項參數對系統響應所造成之影響，各有所不同。一般來說，比例項是將誤差乘上一增益值K_p，可以控制系統的相對穩定度及穩態誤差。積分項是藉由低頻補償來改善系統的穩態誤差。微分項是藉由高頻補償來改善系統的暫態響應並改善過大的超越量。

以下將各別作詳細的分析。利用上述之例題一來做為說明，將例題一所求出之三項參數數值，放大或是縮小10倍，以比較參數調整對系統造成的影響。

圖4-7，為調整P控制器參數K_p所產生的作用，實際分析P控制器之轉移函數，以了解其對系統影響之原因。

圖4-7：對系統響應之影響

理論上來說，改變K_p值之影響關係如下：

1.改變K_p值，可調整系統的相對穩定度及穩態誤差。

2. K_p值增大可降低穩態誤差，但破壞相對穩定度。

3. K_p值調小可改善相對穩定度，但卻會增加穩態誤差。

對於一般的串聯型PID控制器來說(PDF或是PDFF等則不一定)，系統的頻寬將主要由控制器的比例項K_p來決定。因此在傳統的PI或是PID控制器的調變中，我們都會嘗試先將K_p的值先盡可能的調大，之後再藉由積分項或是微分項調整暫態行為。

圖4-8，則是調整PD控制器中，參數K_d所產生的作用。

圖4-8：對系統響應之影響

一般來說，改變K_d值之影響關係如下：

1.能預期高超越量，進而執行修正工作，使得暫態超越量得以改善。

2.可改善系統之阻尼特性及暫態響應，並增加相對穩定度。

3.不利於高頻雜訊干擾，且無法改善穩態誤差。

簡言之，微分控制器的加入可以改善暫態響應行為，但是不利於穩態誤差。但是由於微分控制在實務上會有雜訊放大的問題，因此一般很少被使用。

數學上來說，可以由觀察加入微分器的控制器模型來觀察系統的行為:

要注意的是雖然相位邊限是增加的，但是增益邊限是減少的，整體系統的閉迴路穩定度是增加或是減少，要依照實際的系統狀況才能判定。

PD控制器相當於在開迴路系統中加入一個非零的零點，可使根軌跡往左半平面移動，具有增加閉迴路系統的相對穩定度的效果。從時域的觀點來看，僅改善了過高的超越量及增加部份響應速度外，對穩態響應沒有幫助作用。以頻率的觀點來看，PD控制器就是一個高通濾波器(High Pass Filter)

圖4-9，則是調整PI控制器中，參數K_i所產生的作用。

圖4-9：對系統響應之影響

一般來說，改變K_i值之影響關係如下：

1.對於瞬間的系統變化無法即時反應，但若系統資料累積越多，其效果就越明顯，對於系統的穩態誤差有改善效果。

2.最差情況將使系統變的不穩定；即使系統仍維持穩定，其暫態響應的性能也會變差。

簡單來說，積分控制可以消除系統的穩態誤差，但是不利於暫態響應行為。需要注意的是在虛擬微分回授PDF控制中，K_i值也同時影響到系統的響應頻寬。注意上述討論的控制器增益動態影響都只針對傳統的串聯型PID進行討論。

數學上來說，可以由觀察加入積分器的控制器模型來觀察系統的行為:

整體系統的GM以及PM都是下降的，可以看出雖然增加積分控制可以改善系統的穩態誤差，但是閉迴路系統的絕對穩定度也會因此而降低。

PI控制器相當於在開迴路系統中加入一個非零的零點及一個極點(S=0)，由於加入的極點比零點更接近虛軸，而會使系統變得更不穩定；然而在在S=0加入一個極點，可增加開迴路轉移函數的階數一次，具有改善系統的穩態誤差效果。以頻率的觀點來看，PI控制器是一個低通濾波器(Low Pass Filter)，對系統內出現高頻雜訊或外在高頻干擾源有抑制作用。

4-4 總結

PID控制仍是目前業界所使用的主流，具有較少的數學演算需求及明確的參數定義等優點，方便使用者用最簡單的概念調整馬達控制特性，雖不見得能達到最佳控制效果，但仍可應付決大部份的使用需求，使其在工業應用領域中獨佔鰲頭。

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