第四章:PID控制器

 

由前述章節介紹,可知一個系統中最為重要的係輸入與輸出之間的關係,即為轉移函數,了解此一關係,則可以有效的控制輸入參數,達到期望的輸出結果。因此,使系統能穩定且快速的達到輸出目標,即為控制器之目的;控制器具有不同種類及設計,本章將針對工業界中應用最廣泛的PID控制器進行分析及解說。 

4-1   PID控制器簡介

PID(比例Proportional-積分Integral-微分Derivative)控制器,又稱為三項(ThreeTerms)控制器或程序(Process)控制器,係由比例單元P、積分單元I和微分單元D三項所共同組成,其轉移函數型態如下

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藉由KpKiKd三個參數的設定,調整控制器的轉移函數;其中Kp稱為比例增益常數,使得輸入至輸出間具有一個常數比例關係,可藉此調整輸出放大或縮小;Ki為積分增益常數,Kd係微分增益常數,對於一個連續的類比訊號,除了以比例控制外,也可使用積分或微分進行處理,又稱為動態補償(DynamicCompensation)

將PID控制器轉移函數中,將sjw代入,則

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可觀察到以下幾點

1.當系統處於穩態情況時,其輸入訊號變化頻率較小,則積分項I為控制器主要影響參數,故調整Ki參數可有效的改善系統的穩態誤差。

2.當系統為暫態情況,其輸入訊號變化頻率較大,此時微分項D為控制器主要影響參數,故調整Kd參數將使暫態增益大小改變,若將Kd增加,則系統響應較快。

3.無論何種狀態,比例項P都持續對系統造成影響。

可參考圖4-1,於不同頻率變化時,三項參數所佔的比重關係。

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圖4-1:PID控制器複數平面圖

PID控制器主要適用於基本線性和動態特性不隨時間變化的系統,若將Kd參數設為零,則稱為積分型(PI)控制器,為最常見的使用類型;反之,將Ki設為零,則稱為微分型(PD)控制器。

 

4-2   PID控制器參數推導

由簡介可知PID控制器主要參數分別為KpKiKd,故考慮一個實際的馬達系統模型,如圖4-2,推導PID控制器三項參數的選用與分析。

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圖4-2:馬達系統模型

 

將此系統進一步簡化,可得圖4-3之模型,其中F(s)即為PID控制器,G(s)則是由取樣所造成的延遲時間因子,當取樣時間為T時,則未命名  ,H(s)為結合馬達、驅動器及感測器之簡化系統,其整體轉移函數如下

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圖4-3:系統簡化模型

則此系統之開回路轉移函數為

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考慮系統之交換頻率(Crossover Frequency)和相位邊限(Phase Margin)因素,則

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由前述可知,參數Ki主要作用於系統低頻操作時,故可推斷Ki對於開迴路系統│L(jωc)│的大小值沒有影響,但對於相位則會造成約-5°的相位落後影響。因此,假設系統之延遲時間因子為1,則

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若僅考慮系統之大小關係,即Ki=0G(s)=1,可將此開迴路系統推導為

 未命名    (4-1)

其中

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再考慮系統相位關係,受到相位落後的影響,則相關計算如下把值

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將數值代入可得

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其中

未命名          (4-2)

由(4-1)及(4-2)可繪得KdKp之三角關係圖

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圖4-4:與三角關係圖

由圖4-4可推導出KdKp之關係式

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例一:參考圖4-5之系統及其相關參數,設計適當的PID參數。

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圖4-5:系統方塊圖

相關參數:

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    設計規格:

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解:

    則H(s)之轉移函數為

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將以ωc=200代入,可得

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另可知,Ki會造成相位落後5°,如圖4-6所示,則

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圖4-6:PID控制器複數平面圖

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4-3   PID控制器參數對系統之影響

由前述之介紹可知,若有特定之設計需求規格,則可計算求得PID控制器三項參數之值;然而,此三項參數對系統響應所造成之影響,各有所不同。一般來說,比例項是將誤差乘上一增益值Kp,可以控制系統的相對穩定度及穩態誤差。積分項是藉由低頻補償來改善系統的穩態誤差。微分項是藉由高頻補償來改善系統的暫態響應並改善過大的超越量。

以下將各別作詳細的分析。利用上述之例題一來做為說明,將例題一所求出之三項參數數值,放大或是縮小10倍,以比較參數調整對系統造成的影響。

圖4-7,為調整P控制器參數Kp所產生的作用,實際分析P控制器之轉移函數,以了解其對系統影響之原因。

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圖4-7:對系統響應之影響

理論上來說,改變Kp值之影響關係如下:

1.改變Kp值,可調整系統的相對穩定度及穩態誤差。

2. Kp值增大可降低穩態誤差,但破壞相對穩定度。

3. Kp值調小可改善相對穩定度,但卻會增加穩態誤差。

對於一般的串聯型PID控制器來說(PDF或是PDFF等則不一定),系統的頻寬將主要由控制器的比例項Kp來決定。因此在傳統的PI或是PID控制器的調變中,我們都會嘗試先將Kp的值先盡可能的調大,之後再藉由積分項或是微分項調整暫態行為。

圖4-8,則是調整PD控制器中,參數Kd所產生的作用。

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圖4-8:對系統響應之影響

一般來說,改變Kd值之影響關係如下:

1.能預期高超越量,進而執行修正工作,使得暫態超越量得以改善。

2.可改善系統之阻尼特性及暫態響應,並增加相對穩定度。

3.不利於高頻雜訊干擾,且無法改善穩態誤差。

簡言之,微分控制器的加入可以改善暫態響應行為,但是不利於穩態誤差。但是由於微分控制在實務上會有雜訊放大的問題,因此一般很少被使用。

數學上來說,可以由觀察加入微分器的控制器模型來觀察系統的行為:

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要注意的是雖然相位邊限是增加的,但是增益邊限是減少的,整體系統的閉迴路穩定度是增加或是減少,要依照實際的系統狀況才能判定。

PD控制器相當於在開迴路系統中加入一個非零的零點,可使根軌跡往左半平面移動,具有增加閉迴路系統的相對穩定度的效果。從時域的觀點來看,僅改善了過高的超越量及增加部份響應速度外,對穩態響應沒有幫助作用。以頻率的觀點來看,PD控制器就是一個高通濾波器(High Pass Filter)

圖4-9,則是調整PI控制器中,參數Ki所產生的作用。

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圖4-9:對系統響應之影響

 

一般來說,改變Ki值之影響關係如下:

1.對於瞬間的系統變化無法即時反應,但若系統資料累積越多,其效果就越明顯,對於系統的穩態誤差有改善效果。

2.最差情況將使系統變的不穩定;即使系統仍維持穩定,其暫態響應的性能也會變差。

簡單來說,積分控制可以消除系統的穩態誤差,但是不利於暫態響應行為。需要注意的是在虛擬微分回授PDF控制中,Ki值也同時影響到系統的響應頻寬。注意上述討論的控制器增益動態影響都只針對傳統的串聯型PID進行討論。

數學上來說,可以由觀察加入積分器的控制器模型來觀察系統的行為:

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整體系統的GM以及PM都是下降的,可以看出雖然增加積分控制可以改善系統的穩態誤差,但是閉迴路系統的絕對穩定度也會因此而降低。

PI控制器相當於在開迴路系統中加入一個非零的零點及一個極點(S=0),由於加入的極點比零點更接近虛軸,而會使系統變得更不穩定;然而在在S=0加入一個極點,可增加開迴路轉移函數的階數一次,具有改善系統的穩態誤差效果。以頻率的觀點來看,PI控制器是一個低通濾波器(Low Pass Filter),對系統內出現高頻雜訊或外在高頻干擾源有抑制作用。

 

4-4   總結

PID控制仍是目前業界所使用的主流,具有較少的數學演算需求及明確的參數定義等優點,方便使用者用最簡單的概念調整馬達控制特性,雖不見得能達到最佳控制效果,但仍可應付決大部份的使用需求,使其在工業應用領域中獨佔鰲頭。

 

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