第二章:多輸入輸出(MIMO)系統

 

系統可同時接受多組輸入而產生相對應的輸出,即為多輸入輸出系統;一般真實的系統輸入變數往往不只一個,且都會影響到輸出結果,如馬達,其輸入包括電壓及電流等變數,而會造成輸出轉速及轉矩的變化。多輸入輸出系統是接近真實狀態的描述,也與目前的科技發展趨勢一致,故於本章節做更詳細的介紹。 

2-1   動態方程式

    動態方程式(Dynamic_Equation)是用來描述一個多輸入(uj)輸出(yq)的多變數(xn)系統,將其狀態變數的微分表示成所有狀態與輸入之組合關係。

於自動控制系統中,決定系統的動態方程式,需先定義系統所需之最少變數,如x1(t),x2(t),…xn(t),並加入的輸入訊號根據變數在時間t0的值,即變數的初始值;最終決定系統在t≧t0之狀態行為動態方程式,分為兩組方程式表示,狀態方程式及輸出方程式:

1  

系統動態方程式即為自動控制中轉移函數的狀態空間表示形態。然而,一般而言轉移函數僅適用線性非時變(LTI)系統,而動態方程式的優點在於可以表達任一系統,如

    1.線性非時變系統 (Linear&Time-Invariant System)

   2  

    2.線性時變系統(Linear&Time-Variant System)

   3  

    3.非線性非時變系統(Nonlinear&Time-Invariant System)

   4  

    4.非線性時變系統(Nonlinear&Time-Variant System)

       5   

2-2   轉移函數分解為動態方程式之方法與解析

於第一章中有介紹狀態空間轉成轉移函數的推導,本章節則將介紹由轉移函數改成多輸入輸出之動態方程式的作法。 

1.直接分解法(Direct_Decomposition)

將轉移函式改寫成為下面的形式,其中L(s)為輔助狀態方程式

 6                                                                                         

步驟一:定義狀態變數 x1,x2,…xn

狀態變數的數量即等於轉移函數的階層,使用下述系統輸出及輸入方程式作為範例說明。

7  

經由反拉氏(Inverse_Laplace)轉換後可改寫為

 8  

則定義此系統的狀態變數為

 9   

步驟二:動態方程式的建構

1011,則系統動態方程式可編寫如下:

  12   

步驟三:動態方程式的矩陣結構

將動態方程式以矩陣型式排列:

 13   

例一:利用直接分解法描述轉移函數之動態方程式。

  14   

解:先將轉移函數分解為輸入及輸出方程式

15  

做反拉式轉換可得

 16  

定義狀態變數

17  

則此系統動態方程式為

 18   

經由之前的步驟可求得其動態方程式矩陣形態為 

 19  

<觀察>

將原來的轉移函數改成升冪的方式排列如下

 20  

則A矩陣的最後一列由分母係數決定且均變號,C列向量由分子係數來決定,可更快求得轉移函數之動態方程式。

 

二.巢狀分解法(Nested_Decomposition)

將轉移函數改寫如下

 21    

步驟一:定義狀態變數 x1,x2,…xn

 22   

步驟二:動態方程式的建構

 23   

步驟三:動態方程式的矩陣結構

 24   

例二:利用巢狀分解法描述轉移函數的動態方程式。

  25   

解:由於轉移函數並非嚴格真分有理函數故改寫為

 26  

此轉移函數為四階,利用上述步驟加上原矩陣之增廣矩陣找出動態方程式

 27   

<觀察>

從矩陣的元素可發現,其轉移矩陣和狀態方程式的分母和分子係數,具有一定的相關性。

 <補充>

用直接分解法來解決問題,可發現當D項有值時,會造成轉移函數變為真分有理函數。

 28  

 

三.串聯分解法(Cascade_Decomposition)

串聯分解法名稱的由來,係因其所繪製的訊號流程圖為串聯式結構。首先,先將轉移函數因式分解為下列形式

    29  

再將因式分解過後的轉移函數以訊號流程圖表示,其中訊號流程的實現有以下兩個基本圖例:

1. 

 30  

             圖2-1:流程圖

 31  

2.

 32  

             圖2-2:流程圖

33  

 

以下以實例說明。 

例三:利用串聯分解法描述轉移數34  的動態方程式

 

解:將轉移函數分解如下

       35   

步驟一:實現流程圖

 36  

圖2-3:串聯式流程圖

步驟二:動態方程式的建構

       37                   

步驟三:動態方程式的矩陣結構

   38  

<觀察>

1.由於定義狀態的不同以及建構訊號流程圖的方法有無限多種,故使用此法答案並不唯一。

2.串聯分解法的形式必為三角矩陣,而其三角矩陣之對角元素即為轉移函數的極點(pole)位置。

 

四.並聯分解法(Cascade_Decomposition)

與串聯分解法類似,其訊號流程圖為並聯式結構。同樣,先將轉移函數因式分解為下列形式

       39   

步驟一:實現流程圖

40     

步驟二:動態方程式的建構

      41           

步驟三:動態方程式的矩陣結構

       42  

<觀察>

1.由於定義狀態的不同以及建構訊號流程圖的方法有無限多種,故使用此法答案並不唯一。

2.並聯分解法的A矩陣為對角矩陣或者是Jordan矩陣,其對角線元素即為其部份分式的極點(Pole)位置。

 <特別討論>

若G(s)發生重根的現象,例如

   43  

則訊號流程圖定義狀態為 

44   其動態方程式為

       45        

上述介紹了四種由轉移函數改為動態方程式表示式,可發現動態方程式結果並不唯一;因此,從原始的系統狀態來分析一個系統其動態方程式的可能性,是否並不唯一。考慮一系統如下

 46  

圖2-6:控制系統圖

 47  

其狀態空間表示式為

  49       

其流程圖如下

50   

圖2-7:狀態流程圖

 則必定存在任一非奇異矩陣(Nonsingular Matrix) P,使得系統參數可以轉換

   51      

其轉換方式可參考下圖

52   

圖2-8:轉換狀態流程圖

其中

       53  

則其狀態空間表示式可改寫為

     54    

因非奇異矩陣並不唯一,具有無窮多種可能性,故造成同樣的系統可有無窮多種的動態方程表示式。

 

2-3   線性分式轉換探討

由第一章可知,線性分式轉換是專門處理多輸入輸出型式的轉移函數求解方法,而一般的線性分式轉換雙端網路型式如圖2-10所示,其方程式描述如下。

55      

56         

由第一章的推導可知其轉移函數為

57         

若以動態方程式表示,則

58   

轉移函數應寫成

     59     

也可將系統參數k至於P上方的位置,為另一型式的雙端網路,如圖2-11所示,則其轉移函數求解公式也會有所變化。

60   

圖2-11:雙端網路圖

  61          

轉移函數推導如下

 62                                

以動態方程式表示其型式,則

 63  

圖2-12:動態方程式雙端網路圖

轉移函數為

       64   

除了上述不同型態的雙端網路之外,以下將針對不同樣式之系統,各別講解採用線性分式轉換求解之方法及解析。

型式一65  :,系統流程如圖2-13所示

66    

加入一斷開點,使得輸入至輸出為開迴路路徑,如下圖2-14所示

67    

將各別輸入與輸出間之關係加以排列,可得

            68                         

以動態方程式雙端網路圖表示如下

69   

圖2-15:動態方程式雙端網路圖

 代入線性分式轉換可得

 70        

型式二:71  ,系統流程如圖2-16所示

 72   

加入斷開點,使得輸入至輸出為開迴路路徑,如下圖2-17所示

73    

將各別輸入與輸出間之關係加以排列,並以動態方程式雙端網路圖表示如下

74    

 代入線性分式轉換可得

       75  

 

76   

加入斷開點,使得輸入至輸出為開迴路路徑,如下圖2-20所示

77    

將各別輸入與輸出間之關係加以排列,並以動態方程式雙端網路圖表示如下

78      

代入線性分式轉換可得

       79  

 

80        

由上述可知,斷開點的數量會影響於矩陣之大小,越大則計算上會越為複雜,因此,盡可能以最少的切斷點來完成開回路系統,以避免計算上的困難。

 

2-4   總結

本章節介紹了用來描述多輸入輸出系統之動態方程式及其相關特性,並推導不同類型的動態方程式及轉移函數間轉換之方法。而方便用於多輸入輸出系統求轉移函數的線性分式轉換,具有不同的系統表示型式,而造成求解方程式之差異性;本章節也以線性分式轉換求解更為複雜且龐大的系統,分析其解法與流程及產生的影響。

經由本章節的介紹可明顯的發現,無論是動態方程式或是線性分式轉換,皆是以矩陣的型式表式,而矩陣的運算對於人的運算是較為複雜且不便的,但若以電腦進行求解時,卻能大幅的提高計算的時效性,因此在實際的應用領域當中,以矩陣表示是較為恰當的,極為後現代控制理論發展的主軸。

  

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