永磁馬達實務系統架構分析

 

本文將以能量型式解析永磁馬達特性參數,並導入馬達實際損失[1],重新架構永磁馬達系統模型。 

已知馬達為電能與動能間的轉換機構,永磁馬達實際能量運作程序如下:輸入電能流經馬達導電線圈,藉由電磁效應轉換為磁能,利用導磁材料傳遞,並與馬達內部永久磁鐵交互作用,運用磁性力同極相斥異極相吸特性,於馬達轉子上形成相對運動,產生機械動能輸出,如圖1所示。由此可知,永磁馬達系統具有電氣、磁場及機械三種能量形態。 

圖1     

由熱力學第二定律可知能量於傳輸與轉換過程中,一定會有損失產生,迫使能量無法百分之百傳遞。有鑑於此,永磁馬達可分為電能損失、磁能損失及機械損失三大類別;需將實際損失參數納入永磁馬達系統中,以建立具實務考量之永磁馬達數學模型。 

 

1 永磁馬達標準模型 

已知永磁馬達具有三種能量形式存在,分別為電能、磁能及機械能;然而,標準解析方式仍將永磁馬達定義為電能輸入轉換為動能輸出之裝置,如圖2為永磁馬達標準模型系統。 

 圖2  

2所包含之永磁馬達數學關係式可拆解為兩部份;式(1)為電能部份之電氣方程式,式(2)則為動能部份之機械方程式。 

                                                                                             公式1    

       

        其中V為輸入電壓、i為輸入電流、Rc為線圈電阻、L為線圈電感、ke為永磁馬達反電動勢常數、ω為馬達轉速。

公式2                                                                                                     

其中T為轉矩、kt為永磁馬達轉矩常數、Bv為黏滯係數。

由圖2可觀察到,輸入電壓V到電流i之間即為馬達電氣參數,標準永磁馬達系統僅考慮到線圈電阻Rc所產生之損失;輸出轉矩T到轉速ω之間為機械參數,僅加入黏滯係數Bv之影響;介於電氣及機械參數之間即為磁能參數,僅包含轉矩常數kt與反電動勢常數ke,並無描述任何損失。由此可知,永磁馬達標準模型對於損失考量並不完善,無法表達真實的永磁馬達系統,為理想化模型。

 

2 永磁馬達損失分析 

為了將永磁馬達實際損失納入系統中,並藉此重新定義永磁馬達數學模型,需先針對永磁馬達各種損失情況進行解析。已知永磁馬達損失可歸類為電氣、磁場及機械三大部份,再將其細部劃分後,可整理為以下損失:電壓降損、銅損、磁滯損、渦流損、摩擦損、黏滯損及風損。

 

2.1 電壓降損 

電壓降損屬於電氣損失的一種,係馬達電源連接線及換相器所造成的;如圖3所示,馬達需藉電源連接線及換相器傳遞電能至馬達線圈。由於馬達線圈具有電阻值,而電源連接線及換相器亦存在電阻值;由電路學可知,兩電阻串聯會產生分壓效果,導致馬達線圈受到電壓降影響,意即馬達線圈實際跨壓低於輸入電壓值。其計算公式如下

 公式3                  

其中Vd為電源連接線及換相器所消耗之電壓值、Rd為電源連接線及換相器之電阻值。

圖3   

2.2銅損

銅損亦為電氣損失的一種,係指電流通過導電材質時,因材質阻抗所引起之電能傳輸損失,於電路學中稱為導通損失;其來源為馬達線圈電阻,線圈實體如圖4所示。因馬達線圈一般採用具有較低阻抗值的銅作為導電材料,故馬達導通損失皆直接稱為銅損。其計算公式如下

Pc = i2Rc                                                                                              (4)

其中Pc為銅損損失功率。從圖2可知,永磁馬達系統模型中並無標示功率項;為將銅損導入系統方塊圖中,將式(4)重新表示為電壓與電流關係
公式5                                                                                                 

 

其中VC為馬達線圈跨壓值。

 

圖4   

 

2.3 鐵損

鐵材為最熟知的導磁材料,故口語上常稱馬達導磁材料為鐵心;實際應用上,大多選用具有高飽和磁通密度及低損失的矽鋼片作為馬達導磁材料,矽鋼片實體如圖5所示。導磁材料所產生之損失統稱為鐵損,包括磁滯損及渦流損兩種,皆為磁能於導磁材料內傳遞及轉換時所造成之損失。

圖5  

 

2.3.1磁滯損

任何能量於傳輸及轉變過程中,一定會有損失,磁能亦不例外;磁滯損係導磁材料原子結構受到外部磁場變化時,重新排列為磁性方向所需耗損能量。磁滯損計算公式如下,並將磁場變換頻率改以馬達轉速表示之

公式6                                                                                       

其中Ph為磁滯損損失功率、kh為導磁材料磁能性質參數、f為磁場變換頻率、Bm為導磁材料磁通密度、Nm為馬達極數。為納入永磁馬達系統中,式(6)重新表示為轉矩與轉速關係如下

公式7                                                                          

其中Th為磁滯轉矩。馬達選用矽鋼片作為導磁材料,除了能容納更高的飽和磁通密度外,其材料特性亦具有狹窄的磁滯區域,如圖6所示,兩條磁化曲線間隔範圍極為狹長,使得矽鋼片可快速轉換磁場極性並降低磁滯損。

圖6   

 

 

2.3.2渦流損

渦流損亦為導磁材料所產生之損失,屬於磁能損的一種;係因馬達旋轉換相時,瞬間磁場變動,於導磁材料內產生感應電流流動,而造成損失。計算公式如下,將磁場變換頻率改以馬達轉速表示

公式8                                                                

其中Pe為渦流損損失功率、kec為導磁材料電磁性質參數、d為導磁材料厚度、ρ為密度。將式(8)重新表示為轉矩與轉速關係如下

公式9                                                                    

其中Te為渦流轉矩、Be為渦流係數。

 

2.4 摩擦損

摩擦損為機械損失的一種;當物體於行進間,與其它事物接觸面上會產生一方向相反的力,對移動方向之力進行抵抗,即為摩擦損失,如圖7所示。

圖7   

摩擦損又可細分為靜摩擦損及動摩擦損兩種;靜摩擦損係描述物體剛開始移動時,須先施較大的力,克服接觸面之靜摩擦力,方可開始移動;當物體持續行進後,接觸面上依然存在一大小固定的摩擦力,即為動摩擦力。圖8為瞬間摩擦力變化示意圖,剛啟動時有一較大的靜摩擦力Fs,運動速度增加至靜摩擦力存在之最大速度vs後,僅剩一較小的動摩擦力Fc。其數學表示式如下

公式10                                  

其中Ff為摩擦力、v為速度。將式(2.11)之力轉換為轉矩與轉速表示如下

公式11              

其中Tf為摩擦轉矩、Tc為動摩擦轉矩、Ts為靜摩擦轉矩、ωs為靜摩擦轉矩存在之最高轉速。

圖8   

 

理論上,摩擦力會受到速度參數影響,但影響速度範圍非常小,僅在開始移動瞬間內有顯著差異;而在本研究之量測系統應用上,待測馬達係快速運轉至高速區段,此時僅受動摩擦力影響,故於馬達損失分析中,可將摩擦力視為與速度無關之固定損失。則式(11)改寫如下

Tf  =T                                                                      (12)

 

2.5 黏滯損

黏滯損亦為機械損的一種;當物體在移動時,與流體接觸面上會具有黏滯力,如圖9所示。馬達為轉子受到空氣流體作用,以及軸承潤滑油所造成之黏滯阻力;其特點係黏滯力大小與速度成正比,關係式如下

Fv = Bvv                                                                                               (13)

其中Fv為黏滯力。將式(13)轉換為轉矩與轉速型式如下

Tv = Bvω                                                                                               (14)

其中Tv為黏滯轉矩。

圖9   

 

2.6 風損

風損為物體移動方向所受到的正向流體阻力,如圖10所示。於馬達中係受到轉動所引起之空氣流動,因結構空間限制所產生之流場壓力差,進而衍生出來的空氣阻力,故稱之為風損;與速度呈現二次方曲線關係,如圖11所示。

圖10   

     

 

風損計算關係式如下

公式15                            

其中Pw為風壓、ξ為風壓係數。將式(15)以力的形式表示如下

公式16                                                   

其中A為受力面積。將式(16)轉換為轉矩與轉速關係如下

公式17  

由式(17)及圖11可知,風損與轉速關係為非線性二次方曲線,為導入永磁馬達系統模型,需將式(17)定義為與轉速係一次方關係,即線性化處理。為達到此一目的,於量測系統設計時,需規劃馬達轉速差異不可太大,於較小的轉速變化範圍內,可將非線性視為線性系統[5],此為線性化處理中常用之技巧。則可將式(17)處理如下

Tw = Bwω                                                                  (18)

其中Tw為風損轉矩、Bw為風損係數。

 

3 永磁馬達系統模型建立與定義

將上述所推導之馬達損失,如式(3)之電壓降損、式(5)之銅損、式(7)之磁滯損、式(9)之渦流損、式(12)之摩擦損、式(14)之黏滯損及式(18)之風損加入圖2永磁馬達標準系統模型中,可繪製出永磁馬達損失系統方塊圖12,即為一具實務損失考量之永磁馬達系統模型。

 圖12  

 

4 參考文獻

[1] Kenjo T., and Nagamori S., “Permanent-Magnet and Brushless DC Motors,” Oxford University Press, Feb. 1986.

[2] 維基百科,http://zh.wikipedia.org/zh-tw/

[3] 辛俊光,永磁式直流有刷馬達之參數自動鑑別系統,國立成功大學航太工程學系碩士論文,1996

[4] Peter C., “Permanent Magnet Materials and their Application,” Cambridge University Press, June. 1996.

[5] Chen C. T., “Linear System Theory and Design,” Oxford University Press, 3 edition, Sep. 1998.

 

路昌工業網站:http://lutron-ind.weebly.com/

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